Avant de porter le nom d'un homme politique, la rue avait deux identités bien moins flatteuses : rue de l'Abreuvoir l'Évêque d'abord, puis rue de la Bonne Morue — un toponyme savoureux qui dit quelque chose de la rudesse du quartier avant que Haussmann ne lui passe ses gants blancs. C'est par décret du 2 octobre 1865 que la voie reçoit son nom définitif, en hommage à François Antoine Boissy d'Anglas (1756–1828), l'homme qui, le 1er prairial an III, présida la Convention avec un sang-froid légendaire face à la foule insurgée brandissant la tête de son collègue Féraud.
Mais la mémoire de la rue est plus longue encore. C'est ici, au n° 28, que Jean-Baptiste Lully s'éteint le 22 mars 1687, des suites d'une gangrène qu'il s'est lui-même infligée en se frappant le pied avec son bâton de mesure — mort cocasse et terrible à la fois, digne d'une farce de Molière. Deux siècles plus tard, la même adresse accueille un cabaret mondain des années 1920 où se croisent les surréalistes et le gratin le plus réactionnaire de Paris, alliance aussi improbable que fascinante. Non loin, au n° 28 toujours, le général Brunel installe son quartier général pendant la Semaine sanglante de 1871, tandis qu'à l'angle de la Concorde une barricade communarde armée de canons tient le pavé.
La rue fut aussi celle des gastronomes et des puissants. Alexandre Balthazar Laurent Grimod de la Reynière, inventeur de la critique gastronomique, occupait les n° 1–5, une adresse que Wellington habita ensuite avant qu'elle ne devienne ambassade des États-Unis. Emmanuel-Joseph Sieyès y avait sa demeure dès 1794, préparant en silence ce qui deviendrait le 18 Brumaire. Et Georges Haussmann lui-même, l'homme qui refit Paris de fond en comble, vécut rue Boissy d'Anglas — une ironie douce, puisque c'est son propre décret qui donna à cette ancienne rue de la Bonne Morue ses airs de boulevard respectable.
La rue ne fut pas épargnée par la guerre. Au n° 11 bis se tint en 1941 le premier procès de résistants devant le tribunal militaire allemand ; c'est là aussi que fut rendu en 1944 le verdict du procès dit improprement du « Groupe Manouchian » — les vingt-trois hommes furent fusillés le jour même. En 1943, au n° 24, une attaque à la grenade contre un restaurant d'officiers nazis se solda, dans la panique, par des Allemands se tirant dessus entre eux.